已知函數(shù)f(x)=
ax1+x2
(a≠0).
(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性; 
(2)當a=1時,用定義證明函數(shù)在[-1,1]上是增函數(shù);
(3)求函數(shù)在,[-1,1]上的最值.
分析:(1)利用f(-x)=
-ax
1+(-x)2
=-
ax
1+x2
=-f(x)可證f(x)在R上為奇函數(shù);
(2)任取-1≤x1<x2≤1則f(x1)-f(x2)=
(1-x1x2)(x1-x2)
(1+x22)(1+x12)
<0,從而可證f(x)在[-1,1]上為增函數(shù);
(3)由①當a>0時,f(x)在[-1,1]上為增函數(shù),可求其最值;②當a<0時,f(x)在[-1,1]上為減函數(shù),可求其最值.
解答:證明:(1)由題意,函數(shù)f(x)的定義域為R,
對任意x∈R都有f(-x)=
-ax
1+(-x)2
=-
ax
1+x2
=-f(x),
故f(x)在R上為奇函數(shù);
(2)任取-1≤x1<x2≤1則f(x1)-f(x2)=
(1-x1x2)(x1-x2)
(1+x22)(1+x12)

∵-1≤x1<x2≤1,
∴x1-x2<0,x1x2<1,
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2).
故f(x)在[-1,1]上為增函數(shù);
(3)由(1)(2)可知:
①當a>0時,f(x)在[-1,1]上為增函數(shù),故f(x)在[-1,1]上的最大值為f(1)=
a
2
,最小值為f(-1)=-
a
2

②當a<0時,f(x)在[-1,1]上為減函數(shù),故f(x)在[-1,1]上的最大值為f(-1)=-
a
2
,最小值為f(1)=
a
2
點評:本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷與證明,考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,考查化歸思想與分類討論思想的運用,屬于難題.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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(-∞,-2)
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