Question

15．曲線C是平面內(nèi)到直線l₁：x=-1和直線l₂：y=1的距離之積等于常數(shù)k²（k＞0）的點(diǎn)的軌跡．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線C過(guò)點(diǎn)（-1，1）；
②曲線C關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱；
③若點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)A，B分別在直線l₁，l₂上，則|PA|+|PB|不小于2k；
④設(shè)P₀為曲線C上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P₀關(guān)于直線x=-1，點(diǎn)（-1，1）及直線y=1對(duì)稱的點(diǎn)分別為P₁、P₂、P₃，則四邊形P₀P₁P₂P₃的面積為定值2k²．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③．

Answer 1

分析 由題意曲線C是平面內(nèi)到直線l₁：x=-1和直線l₂：y=1的距離之積等于常數(shù)k²（k＞0）的點(diǎn)的軌跡．利用直接法，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），及可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程特點(diǎn)即可加以判斷．

解答 解：由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則利用題意及點(diǎn)到直線間的距離公式的得：|x+1||y-1|=k²，
對(duì)于①，將（-1，1）代入驗(yàn)證，此方程不過(guò)此點(diǎn)，所以①錯(cuò)；
對(duì)于②，把方程中的x被-2-x代換，y被2-y 代換，方程不變，故此曲線關(guān)于（-1，1）對(duì)稱．所以②正確；
對(duì)于③，由題意知點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)A，B分別在直線l₁，l₂上，則|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y-1|
∴|PA|+|PB|≥2$\sqrt{|PA||PB|}$=2k，所以③正確；
對(duì)于④，由題意知點(diǎn)P在曲線C上，根據(jù)對(duì)稱性，
則四邊形P₀P₁P₂P₃的面積=2|x+1|×2|y-1|=4|x+1||y-1|=4k²．所以④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 此題重點(diǎn)考查了利用直接法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并化簡(jiǎn)，利用方程判斷曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．