Question

如圖所示的等腰梯形是一個簡易水槽的橫斷面，已知水槽的最大流量與橫斷面的面積成正比，比例系數(shù)為k（k＞0）．
（Ⅰ）試將水槽的最大流量表示成關(guān)于θ函數(shù)f（θ）；
（Ⅱ）求當(dāng)θ多大時，水槽的最大流量最大．

Answer 1

分析：（1）設(shè)水槽的截面面積為S，則S=

1

2

[a+(a+2acosθ)]•asinθ=a²sinθ（1+cosθ），由此能將水槽的最大流量表示成關(guān)于θ函數(shù)f（θ）．
（2）因為f'（θ）=a²k（2cos²θ+cosθ-1），令f'（θ）=0，則2cos²θ+cosθ-1=0，解得cosθ=

1

2

或cosθ=-1．由此能求出當(dāng)θ=

π

3

時，水槽的流量最大．

解答：解：（1）設(shè)水槽的截面面積為S，
則S=

1

2

[a+(a+2acosθ)]•asinθ=a²sinθ（1+cosθ）
則f（θ）=kS=a²ksinθ（1+cosθ），θ∈(0，

π

2

)．
（2）因為f'（θ）=a²k（2cos²θ+cosθ-1），
令f'（θ）=0，
則2cos²θ+cosθ-1=0，
解得cosθ=

1

2

或cosθ=-1．
由于0＜θ＜

π

2

，
得cosθ≠-1，
所以cosθ=

1

2

，
此時θ=

π

3

因為0＜θ＜

π

3

時，
f'（θ）＞0；

π

3

＜θ＜

π

2

時，
f'（θ）＜0；
所以，當(dāng)θ=

π

3

時，水槽的流量最大．

點評：本題考查函數(shù)問題的實際應(yīng)用，解題時要認真審題，尋找數(shù)量間的等量關(guān)系，合理地建立函數(shù)關(guān)系進行求解．