Question

如圖所示的等腰梯形是一個簡易水槽的橫斷面，已知水槽的最大流量與橫斷面的面積成正比，比例系數(shù)為k(k＞0).

（1）試將水槽的最大流量表示成關(guān)于θ的函數(shù)f(θ)；

（2）求當(dāng)θ多大時，水槽的流量最大?

Answer 1

解:(1)設(shè)水槽的截面面積為S,則S=［a+(a+2acosθ)］·asinθ=a²sinθ(1+cosθ),

則f(θ)=kS=a²ksinθ(1+cosθ),θ∈(0,).

注:若遺漏系數(shù)k,

(2)因為f′(θ)=a²k(2cos²θ+cosθ-1),令f′(θ)=0,則2cos²θ+cosθ-1=0,

解得cosθ=或cosθ=-1.

由于0＜θ＜,得cosθ≠-1,所以cosθ=,此時θ=.

因為0＜θ＜時,f′(θ)＞0;＜θ＜時,f′(θ)＜0,

所以,當(dāng)θ=時,水槽的流量最大.

注:若轉(zhuǎn)化為多項式函數(shù)求最值的,仿此給分.