【題目】如圖,點列{An}、{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+1 , n∈N* , |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1 , n∈N* , (P≠Q(mào)表示點P與Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則(  )

A.{Sn}是等差數(shù)列
B.{Sn2}是等差數(shù)列
C.{dn}是等差數(shù)列
D.{dn2}是等差數(shù)列

【答案】A
【解析】解:設(shè)銳角的頂點為O,|OA1|=a,|OB1|=b,
|AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,
由于a,b不確定,則{dn}不一定是等差數(shù)列,
{dn2}不一定是等差數(shù)列,
設(shè)△AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn ,
由三角形的相似可得 = = , = = ,兩式相加可得, = =2,
即有hn+hn+2=2hn+1 ,
由Sn= dhn , 可得Sn+Sn+2=2Sn+1 ,
即為Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn
則數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列.
故選:A.
設(shè)銳角的頂點為O,再設(shè)|OA1|=a,|OB1|=b,|AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,由于a,b不確定,判斷C,D不正確,設(shè)△AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn , 運用三角形相似知識,hn+hn+2=2hn+1 , 由Sn= dhn , 可得Sn+Sn+2=2Sn+1 , 進而得到數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列.本題考查等差數(shù)列的判斷,注意運用三角形的相似和等差數(shù)列的性質(zhì),考查化簡整理的推理能力,屬于中檔題.

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