Question

6．已知f（x）=（e^x_-a）²+（e^-x-a）²（a≥0）．
（1）將f（x）表示成u=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$的函數(shù)；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x）的解析式，由u的解析式，整理變形即可得到f（x）為u的函數(shù)式；
（2）運(yùn)用基本不等式求得u的范圍，再將f（x）配方，討論對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）f（x）=（e^x_-a）²+（e^-x-a）²（a≥0）
=e^2x-2ae^x+a²+e^-2x-2ae^-x+a²
又u²=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}+2}{4}$，
即有f（x）=4u²-2-4au+2a²；
（2）f（x）=4u²-2-4au+2a²
=4（u-$\frac{a}{2}$）²+a²-2，
由u≥$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=1，
當(dāng)$\frac{1}{2}$a≥1時(shí)，u=$\frac{1}{2}$a，f（x）的最小值為a²-2；
當(dāng)$\frac{1}{2}$a＜1時(shí)，[1，+∞）我增區(qū)間，
f（x）的最小值為f（1）=2a²-4a+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求法，考查分類(lèi)討論的思想方法，屬于中檔題．