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已知橢圓的右焦點為，點在圓上任意一點（點第一象限內），過點作圓的切線交橢圓于兩點、．

（1）證明：；

（2）若橢圓離心率為，求線段長度的最大值．

 

【答案】

（1）略（2） 2

【解析】(1) 設，先利用焦半徑公式表示,然后再想法求出|PQ|，也用x1表示出來.相加即可.

(2)根據離心率可求出a值，進而橢圓方程確定，然后設直線的方程為,由直線QR與圓O相切，進而得到,

然后直線與橢圓方程聯(lián)立，消y之后，表示出,

則,，,因而確定當且僅當時，取最大值2.

（1）設，得，…………………3分

由是圓的切線，，

注意到，，……………6分

所以．                            ……………7分

（2）由題意，，．      …………………………9分

方法一：設直線的方程為，點在第一象限，．

由直線與圓相切，．   …………………………11分

由，消得，

設，則．

由（1）知，，…14分

，．

當且僅當時，取最大值2，此時直線的方程為，過焦點．

方法二：設，則直線的方程為．  ……11分

由，消得，

則，，，

由（1）知，，……14分

，，

當且僅當時，取最大值2，此時，直線過焦點． 

方法三：由（1）同理可求，則，………11分

，

當且僅當直線過焦點時等號成立，從而．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的右焦點為F，右準線為l，A、B是橢圓上兩點，且|AF|：|BF|=3：2，直線AB與l交于點C，則B分有向線段
AC
所成的比為（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
2
3
D、
3
2

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年四川成都外國語學校高三下二月月考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為F2（1，0），點 在橢圓上.

（1）求橢圓方程；

（2）點在圓上，M在第一象限，過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點，問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年云南省昆明市高三復習適應性檢測文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，上頂點為B，離心率為，圓與軸交于兩點

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，過點與圓相切的直線與的另一交點為，求的面積

 

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已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上，以點為圓心的圓與軸相切，且同時與軸相切于橢圓的右焦點，則橢圓的離心率為         ．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年河北省保定市高三上學期期末調研考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓 的右焦點為且,設短軸的一個端點為,原點到直線的距離為，過原點和軸不重合的直線與橢圓相交于兩點，且.

(1) 求橢圓的方程；

(2) 是否存在過點的直線與橢圓相交于不同的兩點且使得成立？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

 

 

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