Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F₁且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₂是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是

3

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)△ABF₂是正三角形，且直線AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直，得到F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=30°．在Rt△AF₂F₁中，設(shè)|AF₁|=m，可得

|AF1|

|AF2|

=

1

2

，所以|AF₂|=2m，用勾股定理算出|F₁F₂|=

3

m，得到橢圓的長(zhǎng)軸2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=

3

m，所以橢圓的離心率為e=

2c

2a

=

3

3

．

解答：解：∵△ABF₂是正三角形，
∴∠AF₂B=60°，
∵直線AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直，
∴F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=

1

2

×60°=30°，
Rt△AF₂F₁中，設(shè)|AF₁|=m，sin30°=

|AF1|

|AF2|

=

1

2

，
∴|AF₂|=2m，|F₁F₂|=

|AF2|2-|AF1|2

=

3

m
因此，橢圓的長(zhǎng)軸2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=

3

m
∴橢圓的離心率為e=

c

a

=

2c

2a

=

3

3

．
故答案為：

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦和另一焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的基本概念和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．