Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y）且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，又f（1）=-，則y=f（x）在[-6，3]上的值域?yàn)開(kāi)_______．

Answer 1

[-1，2]
分析：根據(jù)抽象函數(shù)的定義，可得函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)且在R上是減函數(shù)．再用賦值法，結(jié)合題意與奇函數(shù)性質(zhì)，算出f（3）=-1且（-6）=2，由此即可得到f（x）在[-6，3]上的值域．
解答：∵f（x）+f（y）=f（x+y）
∴取y=0，得f（x）+f（0）=f（x），解出f（0）=0
再取y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴y=f（x）是R上的奇函數(shù)
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，可得f（x₁）＞f（x₂）
由此，得到y(tǒng)=f（x）是R上的減函數(shù)
∵f（1）=-，∴f（3）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-）=-1
結(jié)合f（x）是奇函數(shù)，得f（-3）=1
∴f（-6）=f（-3）+f（-3）=2
再結(jié)合函數(shù)f（x）在[-6，3]上為減函數(shù)，得f（x）在[-6，3]上的最大值為f（-6）=2，最小值為f（3）=-1
∴y=f（x）在[-6，3]上的值域?yàn)閇-1，2]
故答案為：[-1，2]
點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，求區(qū)間[-6，3]上的值域，著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，用賦值法求抽象函數(shù)的值和函數(shù)值域求法等知識(shí)，屬于中檔題．