Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，且側(cè)棱AA₁⊥面ABC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求證：平面BB₁C₁C丄平面ADC₁．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：證明C₁C⊥AD，AD⊥BC，利用BC∩C₁C=C，推出AD⊥平面BCC₁B₁，然后證明AD⊥C₁D．利用直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理證明即可．

解答： 證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，
又AD?平面ABC，∴C₁C⊥AD，
又點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)，且△ABC為正三角形，
∴AD⊥BC，
∵BC∩C₁C=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
又DC₁?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥C₁D．
∵側(cè)棱AA₁⊥面ABC，
∴側(cè)棱CC₁⊥面ABC，AD?面ABC，
∴AD⊥C₁C，CC₁∩C₁D=C₁，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵AD?面ABC，
∴平面BB₁C₁C丄平面ADC₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與直線垂直，直線與平面垂直以及平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力．