Question

已知函數(shù)f（x）=

2

sin（π-x）-

2

cosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（a，

8

5

），

π

4

＜a＜

3π

4

，求f（

π

4

+a）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)f（x）=

2

sin（π-x）-

2

cosx轉(zhuǎn)化為f（x）=2sin（x-

π

4

），函數(shù)f（x）的最小正周期和值域可求；
（2）將（a，

8

5

）代入f（x）=2sin（x-

π

4

），可得sin（α-

π

4

）=

4

5

，根據(jù)

π

4

＜a＜

3π

4

，可求cos（α-

π

4

），f（

π

4

+α）=2sinα=2sin[（α-

π

4

）+

π

4

]，利用兩角和的正弦公式可使問(wèn)題得到解決．

解答： 解：（1）f（x）=

2

sin（π-x）-

2

cosx=

2

sinx-

2

cosx=2sin（x-

π

4

）．
故有T=

2π

1

=2π．
由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，k∈Z
故單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z
（2）依題意得：2sin（α-

π

4

）=

8

5

，sin（α-

π

4

）=

4

5

，
∵

π

4

＜a＜

3π

4

．∴0＜α-

π

4

＜

π

2

，∴cos（α-

π

4

）=

1-sin2(α- π 4 )

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

，
∵f（

π

4

+α）=2sin[（α-

π

4

）+

π

4

]
∵sin[（α-

π

4

）+

π

4

]=sin（α-

π

4

）cos

π

4

+cos（α-

π

4

）sin

π

4

=

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

=

7 2

10

∴f（

π

4

+α）=

7 2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)性質(zhì)，解決的方法靈活，側(cè)重拼湊角的方法，考查兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．