過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦點F作傾斜角為60°的直線與雙曲線相交于A、B兩點，若
AF
=4
BF
，則雙曲線的離心率為（　�。�
A、
6
5
B、
10
3
C、
6
5
D、以上均不對
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，求出點B的坐標（x2，y2），利用e=
|
BF
|
d
得出關于e的方程，驗證答案是否正確即可．
解答： 解：根據(jù)題意，A在雙曲線的右支上，B在左支上，
設A（x1，y1），B（x2，y2），左焦點F（-c，0），如圖所示
∵
AF
=4
BF
，
∴x1-（-c）=4[x2-（-c）]，
∴x1=4x2+3c①；
又∵直線過焦點F，傾斜角為60°，
∴y=
3
（x+c），
直線方程與雙曲線方程
x2
a2
-
y2
b2
=1聯(lián)立，消去y得；
b2x2-3a2（x+c）2=a2b2，
即（b2-3a2）x2-6a2cx-（3a2c2+a2b2）=0，
∴x1+x2=
6a2c
b2-3a2
②；
由①②得，
x2=
6a2c
5(b2-3a2)
-
3c
5
，y2=
3
（
6a2c
5(b2-3a2)
+
2c
5
）；
∴e=
|
BF
|
d
=
(x2+c)2+y22
|x2-
a2
c
|
=
2(
6a2c
5(b2-3a2)
+
2c
5
)
|
6a2c
5(b2-3a2)
-
3c
5
-
a2
c
|
=
4(c2-a2)c2
-20a4-13a2c2+3c4
=
4(e2-1)e2
3e4-13e2-20
，
即3e4-4e3-13e2+4e-20=0，
驗證e=
6
5
和e=
10
3
都不是該方程的解．
故選：D．
點評：本題考查了求曲線的離心率的問題，也考查了直線與雙曲線交點的問題，考查了計算能力，是難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓的半徑為
10
，圓心在直線y=2x上，圓被直線x-y=0截得的弦長為4
2
，則圓的標準方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)z=1+
2i
1-i
，則1+z+z2+z3+…+z2002的值為（　�。�
A、1+iB、1C、iD、-i

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設全集U={-1，-2，-3，0，2}，集合A={-1，-2，0}，B={-3，0，2}，則（∁UA）∩B=（　　）
A、{0}B、{-3，2}
C、{-1，-3}D、ϕ

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已sin（
π
4
-x）=
1
4
，則sin2x的值
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為
3
2
2
．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設點P（x0，y0）為直線l上一動點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，求直線AB的方程，并證明直線AB過定點Q；
（Ⅲ）過（Ⅱ）中的點Q的直線m交拋物線C于A，B兩點，過點A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，求l1，l2交點M滿足的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某公司急需將一批不易存放的水果從甲地運往乙地，有汽車、火車、飛機三種運輸工具可供選擇．其主要參考數(shù)據(jù)如下：
運輸工具　途中速度（千米/時）　途中費用（元/千米）裝卸時間（小時）　裝卸費用（元）
汽車　7582　1000
　火車　1205.53　1500
　　飛機　500141.5　1150
若這批水果在運輸過程中（含裝卸時間）中的損耗為300 元/小時，解答下列問題：
（1）若分別用汽車、火車、飛機運輸，在運輸過程中的費用（含損耗費用）依次為 y1，y2，y3為（單位：元），求它們與甲、乙兩地之間的距離x（單位：千米）的函數(shù)關系式；
（2）要使運輸過程中的費用最小，采用哪種運輸工具最好．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求
5π
3
的正弦、余弦和正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2
sin（π-x）-
2
cosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象過點（a，
8
5
），
π
4
＜a＜
3π
4
，求f（
π
4
+a）的值．

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