Question

已知平面α，β所成的二面角為80°，P為α，β外一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P作直線與α，β都成30°的直線有（　　）

• A、1條
• B、2條
• C、3條
• D、4條

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：過P作平面A垂直于α、β的交線l，并且交l于點(diǎn)0，連接PO，則PO垂直于l，過點(diǎn)P在A內(nèi)做OP的垂線L'，以PO為軸在垂直于PO的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動L'，根據(jù)三垂線定理可得有兩條直線滿足題意．以P點(diǎn)為軸在平面A內(nèi)前后轉(zhuǎn)動L'，根據(jù)三垂線定理可得也有兩條直線滿足題意．

解答： 解：首先給出下面兩個結(jié)論
①兩條平行線與同一個平面所成的角相等．
②與二面角的兩個面成等角的直線在二面角的平分面上．
圖1．
（1）如圖1，過二面角α-l-β內(nèi)任一點(diǎn)作棱l的垂面AOB，交棱于點(diǎn)O，與兩半平面于OA，OB，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角，∠AOB=80°
設(shè)OP₁為∠AOB的平分線，則∠P₁OA=∠P₁OB=40°，與平面α，β所成的角都是30°，此時過P且與OP₁平行的直線符合要求，當(dāng)OP₁以O(shè)為軸心，在二面角α-l-β的平分面上轉(zhuǎn)動時，OP₁與兩平面夾角變小，會對稱的出現(xiàn)兩條符合要求成30°情形．
圖2．
（2）如圖2，設(shè)OP₂為∠AOB的補(bǔ)角∠AOB′的平分線，則∠P₂OA=∠P₂OB=50°，與平面α，β所成的角都是50°．當(dāng)OP₂以O(shè)為軸心，在二面角α-l-β′的平分面上轉(zhuǎn)動時，
OP₂與兩平面夾角變小，對稱地在圖中OP₂兩側(cè)會出現(xiàn)30°情形，有兩條．此時過P且與OP₂平行的直線符合要求，有兩條．
綜上所述，直線的條數(shù)共有4條．
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查線面角，以及考查解決線面角的特殊方法的應(yīng)用，考查空間想象能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)動變化的思想方法，此題是個難題．