如圖所示,四棱錐PABCD,PA底面ABCD,BCCD2,AC4,∠ACB∠ACD,FPC的中點(diǎn),AFPB.

(1)PA的長;

(2)求二面角B-AF-D的正弦值.

 

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【解析】(1)如圖,連結(jié)BDACO因?yàn)?/span>BCCD,△BCD為等腰三角形AC平分∠BCD,

AC⊥BD.O為坐標(biāo)原點(diǎn)、、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,OCCDcos1AC4,AOACOC3.ODCDsin,A(0,3,0)B(,0,0),C(0,1,0),D(,0,0)

因?yàn)?/span>PA⊥底面ABCD,可設(shè)P(0,3,z)FPC邊中點(diǎn),F,(3,z),AF⊥PB,·0,60z2(舍去-2),所以||2.

(2)(1)(,3,0)(,30),(0,2,).設(shè)平面FAD的法向量為n1(x1,y1,z1),平面FAB的法向量為n2(x2,y2z2)

n1·0,n1·0,因此可取n1(3,,2)

n2·0,n2·0,故可取n2(3,2)

從而向量n1,n2的夾角的余弦值為cosn1,n2〉=.

故二面角B-AF-D的正弦值為.

 

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某森林出現(xiàn)火災(zāi),火勢正以100m2/分鐘的速度順風(fēng)蔓延,消防站接到報警立即派消防隊員前去,在火災(zāi)發(fā)生后5分鐘到達(dá)救火現(xiàn)場已知消防隊員在現(xiàn)場平均每人滅火50m2/分鐘,所消耗的滅火材料勞務(wù)津貼等費(fèi)用為人均125/分鐘,另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費(fèi)用人均100,而燒毀森林的損失費(fèi)60/m2應(yīng)該派多少消防隊員前去救火才能使總損失最少?

 

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設(shè)變量x、y滿足約束條件:zx3y的最小值為________

 

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已知不等式(2x)(3x)≥0的解集為A函數(shù)f(x)(k<0)的定義域?yàn)?/span>B.

(1)求集合A;

(2)若集合B中僅有一個元素試求實(shí)數(shù)k的值;

(3)B?A試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

 

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如圖甲,在平面四邊形ABCD,已知∠A45°,∠C90°,∠ADC105°,ABBD現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平ABD⊥平面BDC(如圖乙),設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱ACAD的中點(diǎn).

(1)求證:DC⊥平面ABC;

(2)BF與平面ABC所成角的正弦值;

(3)求二面角BEFA的余弦值.

 

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如圖,圓錐的高PO4底面半徑OB2,DPO的中點(diǎn),E為母線PB的中點(diǎn)F為底面圓周上一點(diǎn),滿足EF⊥DE.

(1)求異面直線EFBD所成角的余弦值;

(2)求二面角OOFE的正弦值.

 

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(1)MN∥平面PCD;

(2)四邊形MNCD是直角梯形;

(3)DN⊥平面PCB.

 

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