如圖甲,在平面四邊形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙),設點E、F分別為棱AC、AD的中點.
(1)求證:DC⊥平面ABC;
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-EF-A的余弦值.
(1)見解析(2)(3)-
【解析】(1)∵平面ABD⊥平面BDC,又∵AB⊥BD,∴AB⊥平面BDC,故AB⊥DC,又∵∠C=90°,∴DC⊥BC,BC?ABC平面ABC,DC平面ABC,故DC⊥平面ABC.
(2)如圖,以B為坐標原點,BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如下圖示,設CD=a,則BD=AB=2a,BC=a,AD=2a,可得B(0,0,0),D(2a,0,0),A(0,0,2a),C,F(a,0,a),
∴=,=(a,0,a).
設BF與平面ABC所成的角為θ,由(1)知DC⊥平面ABC,
∴cos===,∴sinθ=.
(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC,AE平面ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE,
∴∠AEB為二面角B-EF-A的平面角.
在△AEB中,AE=BE=AC=a,
∴cos∠AEB==-,即所求二面角B-EF-A的余弦為-.
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領+技巧點撥第六章第4課時練習卷(解析版) 題型:填空題
若對滿足條件x+y+3=xy(x>0,y>0)的任意x、y,(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領+技巧點撥第六章第2課時練習卷(解析版) 題型:填空題
已知實數(shù)x,y滿足若z=ax+y的最大值為3a+9,最小值為3a-3,則實數(shù)a的取值范圍為__________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領+技巧點撥第六章第1課時練習卷(解析版) 題型:解答題
某產品生產廠家根據(jù)以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統(tǒng)計規(guī)律:每生產產品x(百臺),總成本為G(x)(萬元),其中固定成本為2萬元,并且每生產1百臺的生產成本為1萬元(總成本=固定成本+生產成本);銷售收入R(x)(萬元)滿足:R(x)=假定該產品產銷平衡,那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律求下列問題.
(1)要使工廠有贏利,產量x應控制在什么范圍內?
(2)工廠生產多少臺產品時,可使贏利最多?
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領+技巧點撥第六章第1課時練習卷(解析版) 題型:解答題
已知a>0,解關于x的不等式x2-x+1<0.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領+技巧點撥第八章第6課時練習卷(解析版) 題型:解答題
如圖所示,四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F為PC的中點,AF⊥PB.
(1)求PA的長;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領+技巧點撥第八章第6課時練習卷(解析版) 題型:解答題
如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.
求證:(1)AM∥平面BDE;
(2)AM⊥平面BDF.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領+技巧點撥第八章第5課時練習卷(解析版) 題型:解答題
如圖,底面邊長為a,高為h的正三棱柱ABC-A1B1C1,其中D是AB的中點,E是BC的三等分點.求幾何體BDEA1B1C1的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年高考數(shù)學總復習考點引領+技巧點撥第八章第3課時練習卷(解析版) 題型:解答題
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是CD、A1D1中點.
(1)求證:AB1⊥BF;
(2)求證:AE⊥BF;
(3)棱CC1上是否存在點F,使BF⊥平面AEP,若存在,確定點P的位置;若不存在,說明理由.
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