Question

7．如圖，已知正三棱錐A-BCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，且BC=2．
（1）求此正三棱錐的體積；
（2）求DE與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由題意判定正三棱錐的形狀，三條側(cè)棱兩兩垂直，推出是正方體的一個(gè)角，然后轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)和底面從而求其體積．
（2）由（1）可知DA⊥平面ABC，∠DEA是DE與平面ABC所成角，即可求DE與平面ABC所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵EF∥AC，EF⊥DE，
∴AC⊥DE，
∵AC⊥BD（正三棱錐性質(zhì)），
∴AC⊥平面ABD 所以正三棱錐A-BCD是正方體的一個(gè)角，
∵BC=2，
∴AB=$\sqrt{2}$，
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
（2）由（1）可知DA⊥平面ABC，∴∠DEA是DE與平面ABC所成角，
∵tan∠DEA=2，∴cos∠DEA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的體積，考查線面角，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是基礎(chǔ)題．