Question

10．若函數(shù)y=f（x）對任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，恒有f（x）＜0
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若f（2）=1，解不等式f（-x²）+2f（x）+4≤0．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（0），根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性的定義，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性；          
（3）將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）是奇函數(shù)．
∵f（x）對一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）f（x）在R上是減函數(shù)．
∵f（x）對一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
當x＞0時，恒有f（x）＜0．
令x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，且f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）＜0，
由（1）知，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在R上是減函數(shù)．
 （3）∵f（2）=1，
∴2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），
f（2）+f（2）=f（4）=1+1=2，
f（4）+f（4）=f（8）=2+2=4，
即不等式f（-x²）+2f（x）+4≤0等價為不等式f（-x²）+f（2x）+f（8）≤0，
即f（-x²+2x）+f（8）≤0，
即f（-x²+2x）≤-f（8）=f（-8），
∵f（x）在R上是減函數(shù)，
∴-x²+2x≥-8，
即x²-2x-8≤0，
即-2≤x≤4，
即不等式的解集為[-2，4]．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．