Question

4．已知a₁=a，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且滿足：S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n=2，3，4，…，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_2n，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{b_n}的公差；
（2）確定a的取值集合M，使a∈M時，數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推公式，建立方程組，結(jié)合等差數(shù)列的定義進行證明即可．
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，建立不等式關(guān)系進行遞推求解即可．

解答 解：（1）當n≥2時，由已知得S_n²-S_n-1²=3n²a_n，．
因為a_n=S_n-S_n-1≠0，所以S_n+S_n-1=3n² ①．于是S_n+1+S_n=3（n+1）² ②．
由②-①得a_n+a_n+1=6n+3 ③．
于是a_n+2+a_n+1=6n+9  ④．
由④-③得a_n+2-a_n=6   ⑤，
所以b_n+1-b_n=a_2n+2-a_2n=6，
即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差是6． （6分）
（2）由題意知S₂+S₁=12，
所以a₂=12-2a，而a₂+a₃=15，a₃+a₄=21，
所以a₃=3+2a，a₄=18-2a．（8分）
數(shù)列{a_2k}和{a_2k+1}分別是以a₂，a₃為首項，6為公差的等差數(shù)列，
所以a_2k=a₂+6（k-1），a_2k+1=a₃+6（k-1），
a_2k+2=a₄+6（k-1），（ k∈N^*）．   （10分）
因此，數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列?a₁＜a₂且a_2k＜a_2k+1＜a_2k+2對任意的k∈N^*成立
?a₁＜a₂且a₂+6（k-1）＜a₃+6（k-1）＜a₄+6（k-1），
?a₁＜a₂＜a₃＜a₄?a＜12-2a＜3+2a＜18-2a?$\frac{9}{4}$＜a＜$\frac{15}{4}$．
所以，a的取值集合是M={a|$\frac{9}{4}$＜a＜$\frac{15}{4}$}．    （12分）

點評 本題主要考查遞推數(shù)列的應用，結(jié)合等差數(shù)列的定義，利用方程組法是解決本題的關(guān)鍵．考查學生的運算和推理能力，運算量較大，綜合性較強．