Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}，x∈[{1，+∞}）$
（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在[1，+∞）的單調(diào)性，并加以證明．
（2）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上遞增．求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷在[1，+∞）上的符號(hào)，即可得到單調(diào)性；
（2）由題意可得$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0在x∈[1，+∞）恒成立，即x²+2x+a＞0在x∈[1，+∞）恒成立，即有-a＜x²+2x在x∈[1，+∞）恒成立，由g（x）=x²+2x，判斷g（x）在[1，+∞）的單調(diào)性，可得最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+\frac{1}{2}}{x}$=x+$\frac{1}{2x}$+2，
且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上遞增．
理由：f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
由x≥1，可得0＜$\frac{1}{2{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
則f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上遞增；
（2）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即為$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0在x∈[1，+∞）恒成立，
即x²+2x+a＞0在x∈[1，+∞）恒成立，
即有-a＜x²+2x在x∈[1，+∞）恒成立，
由g（x）=x²+2x在x∈[1，+∞）遞增，
可得g（x）的最小值為g（1）=3．
則-a＜3，即有a＞-3．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明，也可以運(yùn)用單調(diào)性的定義，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和參數(shù)分離，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．