Question

已知{a_n }是a₁=23，公差d為整數(shù)的等差數(shù)列，且前6項(xiàng)為正，第7項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)．
（1）求d的值；
（2）求前n項(xiàng)之和S_n 的最大值；
（3）當(dāng)S_n 是正數(shù)時(shí)求n的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出a₆＞0，a₇＜0，求出d的值；
（2）根據(jù)d＜0判斷{a_n}是遞減數(shù)列，再由a₆＞0，a₇＜0，得出n=6時(shí)，S_n取得最大值；
（3）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）由已知a₆=a₁+5d=23+5d＞0，a₇=a₁+6d=23+6d＜0，
解得：-

23

5

＜d＜-

23

6

，又d∈Z，∴d=-4
（2）∵d＜0，∴{a_n}是遞減數(shù)列，又a₆＞0，a₇＜0
∴當(dāng)n=6時(shí)，S_n取得最大值，S₆=6×23+

6×5

2

（-4）=78
（3）S_n=23n+

n(n-1)

2

（-4）＞0，整理得：n（50-4n）＞0
∴0＜n＜

25

2

，又n∈N*，
所求n的最大值為12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，（2）問(wèn)d＜0判斷{a_n}是遞減數(shù)列，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．