Question

2．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=CC₁，平面BAC₁⊥平面ACC₁A₁，∠ACC₁=∠BAC₁=60°，AC₁∩A₁C=O．
（Ⅰ）求證：BO⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）求二面角A-BC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出BO⊥AC₁，由此利用平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，能證明BO⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）依題意，四邊形AA₁C₁C為菱形，且∠AA₁C₁=60°
∴△AA₁C₁為正三角形，又∠BAC₁=60°，
∴△BAC₁為正三角形，又O為AC₁中點(diǎn)，
∴BO⊥AC₁，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，
∵BO?平面AA₁CC₁，∴BO⊥平面AA₁C₁C．…（4分）
解：（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建空間直角坐標(biāo)系，如圖，
令A(yù)B=2，則$A（0，-1，0），C（\sqrt{3}，0，0），B（0，0，\sqrt{3}）$，C₁（0，1，0）
∴$\overrightarrow{B{C_1}}=（0，1，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{C{C_1}}=（-\sqrt{3}，1，0）$
設(shè)平面BB₁C₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{B{C_1}}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{B{B_1}}=0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}z=0}\\{-\sqrt{3}x+y=0}\end{array}}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n_1}=（1，\sqrt{3}，1）$…（9分）
又面ABC₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{OC}=（\sqrt{3}，0，0）$
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$   …（11分）
故所求二面角的余弦值為$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．