Question

2．已知橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的兩條漸進(jìn)線為l₁、l₂，且l₁與x軸所成的夾角為30°，且雙曲線的焦距為$4\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l，l與橢圓C相交于A、B，與圓O：x²+y²=a²相交于D、E兩點，當(dāng)△OAB的面積最大時，求弦DE的長．

Answer 1

分析 （1）因為直線l₁的傾斜角為30°，所以$\frac{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因為雙曲線的焦距為4$\sqrt{2}$，所以c=4再根據(jù)a，b，c關(guān)系，可得橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的方程為：my=x-2．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式可得弦弦長|AB|，利用點到直線的距離公式可得原點到直線l的距離d，再利用S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|d，導(dǎo)利用基本不等式求最值，及直線方程，再求圓的弦．

解答 解：（1）由已知得$\frac{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²+b²=8．解得：a²=6，b²=2，∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）解：∵橢圓C的右焦點F（2，0），故設(shè)直線l的方程為：x=my+2．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$得化為（3+m²）y²+4my-2=0．
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}（{m}^{2}+1）}{3+{m}^{2}}$，點O到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{{m}^{2}+1}}{3+{m}^{2}}$，
令$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t≥1，S_△OAB=f（t）=$\frac{2\sqrt{6}t}{{t}^{2}+2}=\frac{2\sqrt{6}}{t+\frac{2}{t}}≤\sqrt{3}$，
當(dāng)t=$\sqrt{2}$，即m=±1時，△OAB的面積最大．
此時直線l的方程為：x=±y+2，
圓心O到直線l的距離為d₁=$\sqrt{2}$，DE=2$\sqrt{{r}^{2}-{f8n2zv2_{1}}^{2}}=4$．

點評 本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、利用基本不等式求最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．