Question

（本小題滿分14分）

如圖，三角形ABC中，AC=BC=，四邊形ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點。

（1）求證：GF//底面ABC；

（2）求證：AC⊥平面EBC；

（3）若正方形ABED的邊長為1，求幾何體ADEBC的體積。

 

 

Answer 1

【答案】

（I） 證明：連結AE，

∵四邊形ADEB為正方形，

∴AE∩BD=F，且F是AE中點，…………………2分

∴GF//AC，

又AC平面ABC，

GF 平面ABC，

∴GF//平面ABC……………………………………4分

（Ⅱ）∵四邊形ADEB為正方形，∴EB⊥AB，

又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED平面ABC= AB， BE平面ABED

∴BE⊥平面ABC ，   又∵AC平面ABC，

∴BE⊥AC                            ………………………………………………7分

又∵CA²+CB²=AB²，∴AC⊥BC,            ………………………………………………8分

∵BC∩BE=B, ∴AC⊥平面BCE                   ……………………………………9分

（Ⅲ）設正方形ADEB的邊長為

作AB的中點N，連結CN，因為AC=BC，∴CN⊥AB，  …………………………10分

又平面ABED⊥平面ABC，平面ABED平面ABC= AB， CN平面ABC，

∴CN⊥平面ABED，∴CN是四棱錐C—ABED 的高                      ………………11分

∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，    ………………………… 12分

∵C—ABED是四棱錐,

∴V_C—ABED=         ………………14分

 

【解析】略