Question

13．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為PC，PB中點，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：EF⊥AE；
（Ⅲ）若PA=AC=CB，AB=4，求幾何體EFABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明EF∥BC，推出EF∥平面ABC．
（Ⅱ）PA⊥BC，結(jié)合AC⊥BC，推出BC⊥平面PAC，利用EF∥BC，推出EF⊥AE．
（Ⅲ）求出三角形PAC的面積，利用BC⊥平面PAC，三棱錐P-ABC的體積：${V_1}=\frac{1}{3}•{S_{△PAC}}•BC=\frac{1}{3}×4×2\sqrt{2}=\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$，通過EF⊥平面PAE，求出三角形PAE面積，然后求解三棱錐P-AEF的體積，然后求解幾何體EFABC的體積．

解答 （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：∵E，F(xiàn)分別為PC，PB的中點，
∴EF∥BC，…．（2分）
又∵EF?平面ABC，BC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC…．（4分）
（Ⅱ）證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，…（5分）
又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，…（7分）
∴BC⊥AE，
∵EF∥BC，
∴EF⊥AE．…．（10分）
（Ⅲ）解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，
∴${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}PA•AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
∵BC⊥平面PAC，
∴三棱錐P-ABC的體積：${V_1}=\frac{1}{3}•{S_{△PAC}}•BC=\frac{1}{3}×4×2\sqrt{2}=\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$，
∵EF⊥平面PAE，${S_{△PAE}}=\frac{1}{2}{S_{△PAC}}=2$，$EF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$，
∴三棱錐P-AEF的體積：${V_2}=\frac{1}{3}•{S_{△PAE}}•EF=\frac{1}{3}×2×\sqrt{2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴幾何體EFABC的體積：$V={V_1}-{V_2}=2\sqrt{2}$．…（14分）

點評 本題考查直線與平面平行直線與平面垂直，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．