Question

14．若函數(shù)f（x）=x³+mx²-4mx+1在區(qū)間（-1，2）上有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{1}{2}$，0）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． （-∞，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 可求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）=3x²+2mx-4m，根據(jù)題意便有f′（x）=0在（-1，2）上有兩個不等實數(shù)根，從而可得到$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{-1＜-\frac{2m}{2•3}＜2}\\{f′（-1）＞0}\\{f′（2）＞0}\end{array}\right.$，這樣解關(guān)于m的不等式組便可得出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：f（x）在區(qū)間（-1，2）上有兩個極值點；
∴f′（x）=3x²+2mx-4m=0在（-1，2）上有兩個實數(shù)根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}+48m＞0}\\{-1＜-\frac{2m}{2•3}＜2}\\{f′（-1）=3-2m-4m＞0}\\{f′（2）=12+4m-4m＞0}\end{array}\right.$；
解得$0＜m＜\frac{1}{2}$；
∴實數(shù)m的取值范圍是$（0，\frac{1}{2}）$．
故選C．

點評 考查基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)極值點的定義及求法，函數(shù)在極值點處導(dǎo)數(shù)的取值情況，以及一元二次方程實根情況和判別式△的關(guān)系．