Question

彈性題：已知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有意義，且滿(mǎn)足下列條件：①f（x）在（0，+∞）上遞減，且f(x)＞

1

x2

；②在（0，+∞）上在恒有f2(x)•f[f(x)-

1

x2

]=f3(1)．
（1）求f（1）； 
（2）寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足題設(shè)條件的函數(shù)f（x）．

Answer 1

分析：（1）由

f2(1)f[f(1)-1]=f3(1) f(1)＞1

，知f[f（1）-1]=f（1），由f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，能求出f（1）．
（2）設(shè)f(x)=

a

x2

，由f（1）=2，知a=2，可證明f(x)=

2

x2

在（0，+∞）上是減函數(shù)，f2(x)f[f(x)-

1

x2

]=(

2

x2

)2f(

2

x2

-

1

x2

)=

4

x2

f(

1

x2

)=8=f3(1)，所以f(x)=

2

x2

滿(mǎn)足題設(shè)的兩個(gè)條件．

解答：解：（1）由已知得

f2(1)f[f(1)-1]=f3(1) f(1)＞1

∴f[f（1）-1]=f（1）
又f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（1）-1=1即
∴f（1）=2
（2）設(shè)f(x)=

a

x2

，
∵f（1）=2
∴a=2，可證明f(x)=

2

x2

在（0，+∞）上是減函數(shù)，符合條件（1）又f2(x)f[f(x)-

1

x2

]=(

2

x2

)2f(

2

x2

-

1

x2

)=

4

x2

f(

1

x2

)=8=f3(1)，符合條件（2）
∴f(x)=

2

x2

滿(mǎn)足題設(shè)的兩個(gè)條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值的求法，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足題設(shè)條件的函數(shù)f（x）．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．