Question

【題目】坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線上兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為.

（1）設(shè)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求線段取得最小值時(shí)，點(diǎn)的直角坐標(biāo);

（2）求以為為直徑的圓的參數(shù)方程，并求在（1）條件下直線與圓相交所得的弦長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)將的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)式求出線段所在直線方程，由圖可知當(dāng)線段時(shí)，線段獲得最小值，此時(shí)由直線方程聯(lián)立方程組可解交點(diǎn)坐標(biāo)（2）先求出以為直徑的圓直角坐標(biāo)方程，再利用三角代換得參數(shù)方程是為參數(shù)），最后根據(jù)垂徑定理求弦長(zhǎng)

試題解析：（1）的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)分別為,故直線的斜率為,直線的方程為.由題意,當(dāng)線段時(shí)，線段獲得最小值，此時(shí)直線的斜率為，所以直線的的方程為，聯(lián)立，解得，故所求點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.

（2）因?yàn)?/span>的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故以為直徑的圓直角坐標(biāo)方程為，化為參數(shù)方程是為參數(shù)），因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為.