已知函數(shù)
(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求正實數(shù)a的取值范圍;
(2)當a=1時,求f(x)在上的最大值和最小值;
(3)當a=1時,求證:對大于1的任意正整數(shù)n,都有
【答案】分析:(1)對函數(shù)f(x)進行求導,令導函數(shù)大于等于0在[1,+∞)上恒成立即可求出a的范圍.
(2)將a=1代入函數(shù)f(x)的解析式,判斷其單調(diào)性進而得到最大值和最小值.
(3)先判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,令代入函數(shù)f(x)根據(jù)單調(diào)性得到不等式,令n=1,2,…代入可證.
解答:解:(1)∵

∵函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)
對x∈[1,+∞)恒成立,
∴ax-1≥0對x∈[1,+∞)恒成立,即對x∈[1,+∞)恒成立
∴a≥1
(2)當a=1時,,
∴當時,f′(x)<0,故f(x)在上單調(diào)遞減;
當x∈(1,2]時,f′(x)>0,故f(x)在x∈(1,2]上單調(diào)遞增,
∴f(x)在區(qū)間上有唯一極小值點,故f(x)min=f(x)極小值=f(1)=0

∵e3>16

∴f(x)在區(qū)間上的最大值
綜上可知,函數(shù)f(x)在上的最大值是1-ln2,最小值是0.
(3)當a=1時,,
故f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù).
當n>1時,令,則x>1,故f(x)>f(1)=0
,即



即對大于1的任意正整數(shù)n,都有
點評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系,即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增,當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減.
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已知函數(shù)

1的最;

2當函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時,這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.設(shè),試問函數(shù)上是否存在保值區(qū)間?若存在,請求出一個保值區(qū)間;若不存在,請說明理由.

 

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-3

0

6

1

1

 

 

 

 

 

A.            B.           C.    D.

 

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已知函數(shù)

(1)當時,求函數(shù)上的值域,并判斷函數(shù)上是否為有界函數(shù),請說明理由;

(2)若函數(shù)上是以3為上界函數(shù)值,求實數(shù)的取值范圍;

(3)若,求函數(shù)上的上界T的取值范圍。

 

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已知函數(shù),

(1)當時,求函數(shù)上的值域,并判斷函數(shù)上是否為有界函數(shù),請說明理由;

(2)若函數(shù)上是以3為上界函數(shù)值,求實數(shù)的取值范圍;

(3)若,求函數(shù)上的上界T的取值范圍。

 

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(本小題滿分12分

)已知函數(shù)                                       ,(>0),若函

    數(shù)的最小正周期為

(1)求的值,并求函數(shù)的最大值;

(2)若0<x<,當f(x)=時,求的值.

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