Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x（asinx+bcosx）在（0，1）處的切線與直線y=2x+e平行．
（1）求a，b的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，求證：f（x）＞（1+x-x²）ln（x+2）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得a，b的方程，解得a=b=1，再由f（x）的導(dǎo)數(shù)，解不等式可得單調(diào)區(qū)間；
（2）先證sinx+cosx＞1+x-x²，設(shè)g（x）=sinx+cosx-（1+x-x²），可通過二次求得導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性證明；再證e^x＞ln（x+2），設(shè)m（x）=e^x-ln（x+2）（0＜x＜1），求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得證．最后運(yùn)用不等式的可乘性即可得到原不等式成立．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=e^x（asinx+bcosx）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=e^x[（a-b）sinx+（a+b）cosx]，
在（0，1）處的切線與直線y=2x+e平行，
則有f（0）=1，f′（0）=2，
即為b=1，a+b=2，
解得a=b=1；
f（x）=e^x（sinx+cosx）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2e^x•cosx，
由f′（x）＞0可得cosx＞0，即為2kπ-$\frac{π}{2}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
由f′（x）＜0可得cosx＜0，即為2kπ+$\frac{π}{2}$＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
則f（x）的增區(qū)間為（2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$）k∈Z，
減區(qū)間為（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$），k∈Z；
（2）證明：由0＜x＜1可設(shè)g（x）=sinx+cosx-（1+x-x²），
g′（x）=cosx-sinx-1+2x，
令h（x）=cosx-sinx-1+2x，
h′（x）=-sinx-cosx+2=2-$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$＞0恒成立．
h（x）在（0，1）遞增．即有h（0）＜h（x），
即為h（x）＞0，即為g′（x）=cosx-sinx-1+2x＞0，
g（x）在（0，1）遞增，即有g(shù)（x）＞g（0）=0，
則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，sinx+cosx＞1+x-x²①
又設(shè)m（x）=e^x-ln（x+2）（0＜x＜1），
m′（x）=e^x-$\frac{1}{x+2}$，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，m′（x）＞0恒成立，
即有m（x）在（0，1）遞增，
即m（x）＞m（0）＞0，
即有e^x＞ln（x+2）②
由①②可得e^x（sinx+cosx）＞（1+x-x²）ln（x+2），
故當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞（1+x-x²）ln（x+2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，以及不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．