Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB=90°，PA=AB=BC=3，AD=1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求PC與平面PAB所成角的正切值；
（Ⅲ）設(shè)點E在線段PC上，若$\frac{PE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，求證：DE∥平面PAB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC⊥AB．PA⊥BC．然后證明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）說明∠CPB是PC與平面PB所成的角．然后求解tan∠CPB即可．
（Ⅲ）在平面PBC內(nèi)過點E作BC的平行線交PB于點F，連接AF，證明AF∥DE．然后證明DE∥平面PAB．

解答 證明：（Ⅰ）∵AD∥BC，且∠DAB=90°，
∴BC⊥AB．   …（1分）
又PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC．   …（2分）
又PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB． …（4分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，
∴∠CPB是PC與平面PB所成的角．   …（6分）
由已知得PB=3$\sqrt{2}$，
∴tan∠CPB=$\frac{BC}{PB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴PC與平面PAB所成角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．    …（9分）
證明：（Ⅲ）在平面PBC內(nèi)過點E作BC的平行線交PB于點F，連接AF，
∵$\frac{PE}{EC}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{3}$．
∴EF=AD，又EF∥AD，
∴ADEF是平行四邊形．    …（10分）
∴AF∥DE．     …（11分）
又AF?平面PAB，DE?平面PAB，
∴DE∥平面PAB．    …（13分）

點評 本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面平行與垂直的判定定理，考查空間想象能力以及計算能力．