Question

如圖，在△ABC中，已知B=，AC=4，D為BC邊上一點．
（I）若AD=2，S_△DAC=2，求DC的長；
（Ⅱ）若AB=AD，試求△ADC的周長的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角形的面積公式表示出三角形ADC的面積，把已知的面積，以及AC、AD的長代入，求出sin∠DAC的值，由B的范圍，得到∠BAC的范圍，進而確定出∠DAC的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠DAC的度數(shù)，再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的長；
（Ⅱ）由B=，AB=AD，得到三角形ABD為等邊三角形，可得出∠ADC為，進而得到∠DAC+∠C=，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sinC，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周長，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由∠ADC的度數(shù)，得到C的范圍，可得出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，確定出正弦函數(shù)的最大值，即可得到周長的最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵，AC=4，AD=2，
∴，
∴，（2分）
∵B=，∴，
∴，（3分）
在△ADC中，由余弦定理得：，（4分）
∴，
∴；（6分）
（Ⅱ）∵AB=AD，，∴△ABD為正三角形，
∵∠DAC=-C，∠ADC=，
在△ADC中，根據(jù)正弦定理，可得：，（7分）
∴AD=8sinC，，（8分）
∴△ADC的周長為
=8（sinC+cosC-sinC）+4=8（sinC+cosC）+4（9分）
=8sin（C+）+4，（10分）
∵∠ADC=，∴0＜C＜，
∴＜C+＜，（11分）
∴，sin（C+）的最大值為1，
則△ADC的周長最大值為．（13分）
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．