設(shè)△ABC的外心為O，重心為G，取點H，使
OH
=
OA
+
OB
+
OC
．求證：
（Ⅰ）點H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上．
分析：（Ⅰ）根據(jù)O為△ABC的外心，可得|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，利用向量的加減法，向量的數(shù)量積，可證AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，從而問題得證；
（Ⅱ）延長AG交BC于D，則D為BC中點，根據(jù)G為△ABC之重心，證明
OH
=3
OG
，即可得O，G，H三點共線．
解答：證明：（Ⅰ）∵O為△ABC的外心，∴|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，
∵
OH
=
OA
+
OB
+
OC
，∴
AH
=
OH
-
OA
=
OB
+
OC
，
∴
AH
•
BC
=(
OB
+
OC
)•(
OC
-
OB
)=|
OC
|2-|
OB
|2=0
∴
AH
⊥
BC
，即AH⊥BC，
同理BH⊥AC，CH⊥AB，
∴H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）延長AG交BC于D，則D為BC中點，∴
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)，
∵G為△ABC之重心，∴
AG
=
2
3
AD
=
1
3
(
AB
+
AC
)=
1
3
(
OB
+
OC
-2
OA
)
∵
OG
=
OA
+
AG
=
OA
+
1
3
(
OB
+
OC
-2
OA
)=
1
3
(
OA
+
OB
+
OC
)，
∴
OH
=3
OG
，∴
OH
∥
OG
，
∴O，G，H三點共線．
點評：本題考查向量知識的運用，考查向量的數(shù)量積，考查向量共線，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)△ABC的外心為O，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H．
（1）若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，用
a
、
b
、
c
表示
OH
；
（2）求證：AH⊥BC；
（3）設(shè)△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，外接圓半徑為R，用R表示
|OH|
．（外心是三角形外接圓的圓心）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)△ABC的外心為O（三角形外接圓的圓心），其外接圓半徑為1，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以O(shè)C，OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H．若
OA
=a，
OB
=b，
OC
=c．
（1）用a，b，c表示
OH
；
（2）求證：點H為△ABC的垂心；
（3）設(shè)△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，求|
OH
|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)△ABC的外心為O，重心為G，取點H，使數(shù)學公式．求證：
（Ⅰ）點H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年安徽省六安市壽縣一中高三（上）第四次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)△ABC的外心為O，重心為G，取點H，使．求證：
（Ⅰ）點H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上．

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