設(shè)△ABC的外心為O，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H．
（1）若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，用
a
、
b
、
c
表示
OH
；
（2）求證：AH⊥BC；
（3）設(shè)△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，外接圓半徑為R，用R表示
|OH|
．（外心是三角形外接圓的圓心）
分析：（1）利用向量的三角形法則即可；
（2）利用向量的三角形法則、外心的性質(zhì)、
m
⊥
n
?
m
•
n
=0即可證明；
（3）利用向量模的計算公式、外心的性質(zhì)即可求出．
解答：解：（1）由三角形法則可得
OH
=
OC
+
OD
=
OC
+(
OA
+
OB
)=
a
+
b
+
c
；
（2）∵
AH
=
AO
+
OH
=-
a
+(
a
+
b
+
c
)=
b
+
c
，
BC
=
OC
-
OB
=
c
-
b
，
∴
AH
•
BC
=(
c
+
b
)•(
c
-
b
)=
c
2-
b
2，
∵O點是△ABC的外心，∴|
c
|=|
b
|，
∴
AH
•
BC
=0，
∴
AH
⊥
BC
．即AH⊥BC
（3）|
OH
|2=(
a
+
b
+
c
)2=
a
2+
b
2+
c
2+2
a
•
b
+2
b
•
c
+2
a
•
c

=3R2+2R2(cos＜
a
，
b
＞+cos＜
b
，
c
＞+cos＜
a
，
c
＞)，
∵A=60°，點O是外心，∴＜
b
，
c
＞=120°，∴cos＜
b
，
c
＞=-
1
2
；
同理cos＜
a
，
c
＞=0，cos＜
a
，
b
＞=-
3
2
．
∴|
OH
|2=(2-
3
)R2．
∴|
OH
|=
2-
3
R=
8-2
12
4
R=
6
-
2
2
R．
點評：熟練掌握三角形外心的性質(zhì)、向量的三角形法則、
m
⊥
n
?
m
•
n
=0及模的計算公式是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的外心為O，重心為G，取點H，使
OH
=
OA
+
OB
+
OC
．求證：
（Ⅰ）點H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)△ABC的外心為O（三角形外接圓的圓心），其外接圓半徑為1，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以O(shè)C，OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H．若
OA
=a，
OB
=b，
OC
=c．
（1）用a，b，c表示
OH
；
（2）求證：點H為△ABC的垂心；
（3）設(shè)△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，求|
OH
|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)△ABC的外心為O，重心為G，取點H，使數(shù)學(xué)公式．求證：
（Ⅰ）點H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年安徽省六安市壽縣一中高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)△ABC的外心為O，重心為G，取點H，使．求證：
（Ⅰ）點H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上．

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