Question

解下列不等式：
（1）x³-2x²+3＜0；
（2）x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0；
（3）

x

x2-8x+15

≥2．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）不等式x³-2x²+3＜0?（x+1）（x²-3x+3）＜0，從而可求得其解集；
（2）對(duì)不等式x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0中的x分x＜-2，-2≤x≤-1，-1＜x＜0與x≥0四類討論，即可求得答案；
（3）將原不等式右端的2移到左端，通分轉(zhuǎn)化為

(x-6)(2x-5)

(x-3)(x-5)

≤0，利用穿根法即可求得答案；或者轉(zhuǎn)化為

(x-6)(2x-5)≥0 (x-3)(x-5)＜0

①或

(x-6)(2x-5)≤0 (x-3)(x-5)＞0

②，分別解①與②即可求得答案．

解答： 解：（1）不等式x³-2x²+3＜0?（x+1）（x²-3x+3）＜0，
∵方程x²-3x+3=0中，△=（-3）²-4×3=-3＜0，且首項(xiàng)系數(shù)大于0，
∴x²-3x+3＞0恒成立，
∴（x+1）（x²-3x+3）＜0?x+1＜0，
∴x＜-1，
∴不等式x³-2x²+3＜0的解集為{x|x＜-1}；
（2）∵x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0，
∴當(dāng)x＜-2時(shí)，x+2＜0，x+1＜0?（x+1）³＜0，（x-1）²＞0，x＜0，
∴x（x-1）²（x+1）³（x+2）＜0，
∴x＜-2不符合題意；
當(dāng)-2≤x≤-1時(shí)，同理可得x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0，符合題意；
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，同理可知x（x-1）²（x+1）³（x+2）＜0，
∴-1＜x＜0不符合題意；
當(dāng)x≥0時(shí)，x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0成立，
綜上所述，不等式x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0的解集為{x|-2≤x≤-1或x≥0}；
（3）∵

x

x2-8x+15

≥2，
∴

x-2x2+16x-30

x2-8x+15

≥0，整理得：

(x-6)(2x-5)

(x-3)(x-5)

≤0，
由穿根法知，

原不等式的解集為{x|

5

2

≤x＜3或5＜x≤6}．
或者：

(x-6)(2x-5)

(x-3)(x-5)

≤0?

(x-6)(2x-5)≥0 (x-3)(x-5)＜0

①或

(x-6)(2x-5)≤0 (x-3)(x-5)＞0

②，
解①得x∈∅；
解②得

5

2

≤x＜3或5＜x≤6，
∴原不等式的解集為：{x|

5

2

≤x＜3或5＜x≤6}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解法，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．