Question

已知x，y≠kπ+

π

2

（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中項(xiàng)，siny是sinθ，cosθ的等比中項(xiàng)．
求證：（1）cos2x=

1

2

cos2y；（2）

2(1-tan2x)

1+tan2x

=

1-tan2y

1+tan2y

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2sinx等于sinθ+cosθ，記作①，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得sin²y等于sinθcosθ，記作②，然后①²-②×2，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，然后利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得證；
（2）由（1）得到的結(jié)論，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，把分母看作“1”即為正弦與余弦函數(shù)的平方和，然后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切即可得證．

解答：證明：（1）∵sinθ與cosθ的等差中項(xiàng)是sinx，等比中項(xiàng)是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx①，sinθcosθ=sin²y②，
①²-②×2，可得（sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=4sin²x-2sin²y，即4sin²x-2sin²y=1．
∴4×

1-cos2x

2

-2×

1-cos2y

2

=1，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故證得cos2x=

1

2

cos2y；
（2）要證

2(1-tan2x)

1+tan2x

=

1-tan2y

1+tan2y

，只需證

1- sin2x cos2x

1+ sin2x cos2x

=

1- sin2y cos2y

2(1+ sin2y cos2y )

，
即證

cos2x-sin2x

cos2x+sin2x

=

cos2y-sin2y

2(cos2y+sin2y)

，即證cos²x-sin²x=

1

2

（cos²y-sin²y），只需證cos2x=

1

2

cos2y．
由（1）的結(jié)論，cos2x=

1

2

cos2y顯然成立．
所以

2(1-tan2x)

1+tan2x

=

1-tan2y

1+tan2y

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．學(xué)生在證明第二問(wèn)時(shí)應(yīng)注意“1”的靈活變換．