已知x，y≠kπ+
π
2
（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中項(xiàng)，siny是sinθ，cosθ的等比中項(xiàng)．
求證：（1）cos2x=
1
2
cos2y；（2）
2(1-tan2x)
1+tan2x
=
1-tan2y
1+tan2y
．
證明：（1）∵sinθ與cosθ的等差中項(xiàng)是sinx，等比中項(xiàng)是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx①，sinθcosθ=sin2y②，
①2-②×2，可得（sinθ+cosθ）2-2sinθcosθ=4sin2x-2sin2y，即4sin2x-2sin2y=1．
∴4×
1-cos2x
2
-2×
1-cos2y
2
=1，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故證得cos2x=
1
2
cos2y；
（2）要證
2(1-tan2x)
1+tan2x
=
1-tan2y
1+tan2y
，只需證
1-
sin2x
cos2x
1+
sin2x
cos2x
=
1-
sin2y
cos2y
2(1+
sin2y
cos2y
)
，
即證
cos2x-sin2x
cos2x+sin2x
=
cos2y-sin2y
2(cos2y+sin2y)
，即證cos2x-sin2x=
1
2
（cos2y-sin2y），只需證cos2x=
1
2
cos2y．
由（1）的結(jié)論，cos2x=
1
2
cos2y顯然成立．
所以
2(1-tan2x)
1+tan2x
=
1-tan2y
1+tan2y
．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x，y≠kπ+
π
2
（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中項(xiàng)，siny是sinθ，cosθ的等比中項(xiàng)．
求證：（1）cos2x=
1
2
cos2y；（2）
2(1-tan2x)
1+tan2x
=
1-tan2y
1+tan2y
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•河?xùn)|區(qū)一模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為
5
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知?jiǎng)又本�y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
①若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-
1
2
，求斜率k的值；
②已知點(diǎn)M(-
7
3
，0)，求證：
MA
•
MB
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知x，y≠kπ+數(shù)學(xué)公式（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中項(xiàng)，siny是sinθ，cosθ的等比中項(xiàng)．
求證：（1）cos2x=數(shù)學(xué)公式cos2y；（2）數(shù)學(xué)公式=數(shù)學(xué)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年高考數(shù)學(xué)必做100題（選修1-2）（解析版） 題型：解答題

已知x，y≠kπ+（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中項(xiàng)，siny是sinθ，cosθ的等比中項(xiàng)．
求證：（1）cos2x=cos2y；（2）=．

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