Question

3．若實(shí)數(shù)a滿足x+lgx=2，實(shí)數(shù)b滿足x+10^x=2，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2ln（x+2）-\frac{a+b}{2}，x≤0}\\{{x}^{2}-2，x＞0}\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程f（x）=x解的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)y=lgx與y=10^x的對(duì)稱關(guān)系得a+b=2，做出y=f（x）和y=x的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷方程解的個(gè)數(shù)．

解答 解：由題意可得：2-a=lga，2-b=10^b，
做出y=lgx，y=2-x，y=10^x的函數(shù)圖象如圖所示：

∵y=lgx與y=10^x互為反函數(shù)，
∴y=lgx與y=10^x的函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
又直線y=2-x與直線y=x垂直，交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴a+b=2，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2ln（x+2）-1，x≤0}\\{{x}^{2}-2，x＞0}\end{array}\right.$，
做出y=f（x）與y=x的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）的圖象與直線y=x有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴f（x）=x有兩個(gè)解．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，利用反函數(shù)的性質(zhì)求出a+b=2，以及作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．