Question

已知曲線C的方程為：ax²＋ay²－2a²x－4y＝0(a≠0，a為常數(shù))．

(1)判斷曲線C的形狀；

(2)設(shè)曲線C分別與x軸，y軸交于點A，B(A，B不同于原點O)，試判斷△AOB的面積S是否為定值？并證明你的判斷；

(3)設(shè)直線l：y＝－2x＋4與曲線C交于不同的兩點M，N，且|OM|＝|ON|，求曲線C的方程．

 

Answer 1

解　(1)將曲線C的方程化為x²＋y²－2ax－y＝0⇒(x－a)²＋²＝a²＋，可知曲線C是以點為圓心，以 為半徑的圓．

(2)△AOB的面積S為定值．

證明如下：

在曲線C的方程中令y＝0，得ax(x－2a)＝0，得點A(2a,0)，

在曲線C方程中令x＝0，得y(ay－4)＝0，得點

∴S＝|OA|·|OB|＝·|2a|·＝4(定值)．

(3)∵圓C過坐標(biāo)原點，且|OM|＝|ON|，

∴OC⊥MN，∴＝，∴a＝±2.

當(dāng)a＝－2時，圓心坐標(biāo)為(－2，－1)，圓的半徑為，

圓心到直線l：y＝－2x＋4的距離

直線l與圓C相離，不合題意舍去，

∴a＝2時符合題意．

這時曲線C的方程為x²＋y²－4x－2y＝0.