Question

（2013•門頭溝區(qū)一模）已知橢圓與雙曲線x²-y²=1有相同的焦點，且離心率為

2

2

．
（I）求橢圓的標準方程；
（II）過點P（0，1）的直線與該橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點，若

AP

=2

PB

，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（I）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由橢圓與雙曲線x²-y²=1有相同的焦點可得c值，由離心率可得a值，根據(jù) 平方關系可得b；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AP

=2

PB

，得

-x1=2x2 1-y1=2(y2-1)

，設直線方程為y=kx+1，代入橢圓方程整理，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，△AOB的面積S=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

|OP|•|x1-x2|，根據(jù)韋達定理及弦長公式即可求得答案；

解答：解：（I）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
因為橢圓與雙曲線有相同焦點，
所以c=

2

，再由e=

c

a

=

2

2

可得a=2，∴b²=a²-c²=2，
故所求方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

AP

=2

PB

，得

-x1=2x2 1-y1=2(y2-1)

，
設直線方程為y=kx+1，代入橢圓方程整理，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，
解得x=

-2k± 8k2+2

2k2+1

，
若x1=

-2k- 8k2+2

2k2+1

，x2=

-2k+ 8k2+2

2k2+1

，
則-

-2k- 8k2+2

2k2+1

=2•

-2k+ 8k2+2

2k2+1

，
解得k2=

1

14

，
又△AOB的面積S=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

|OP|•|x1-x2|=

1

2

×

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

•

2 8k2+2

2k2+1

=

126

8

，
故所求△AOB的面積是

126

8

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查平面向量的基本運算，解決（II）問的關鍵是恰當表示出△AOB的面積．