【題目】已知等差數(shù)列滿足，.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）若，數(shù)列滿足關(guān)系式，求證：數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

（3）設(shè)（2）中的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)n，恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

【答案】（1），；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由等差數(shù)列由通項(xiàng)公式，得到首項(xiàng)與公差的方程組，得出首項(xiàng)與公差的值，得到通項(xiàng)公式；

（2）已知數(shù)列的遞推公式，由疊加法，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）將數(shù)列求和得到前n項(xiàng)和后，將條件變形后，得到關(guān)于參數(shù)p的關(guān)系式，這是一個(gè)恒成立問題，通過最值的研究，得到本題結(jié)論.

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

由已知，有，

解得

所以，

即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.

（2）因?yàn)?/span>，

所以，當(dāng)時(shí)，.

證法一（數(shù)學(xué)歸納法）：

①當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，

那么當(dāng)時(shí)，，

即時(shí)，結(jié)論也成立.

由①，②得，當(dāng)時(shí)，成立.

證法二：當(dāng)時(shí)，，

所以

將這個(gè)式子相加，得，

即.

當(dāng)時(shí)，也滿足上式.

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（3）由（2），所以，

原不等式變?yōu)?/span>，即，

對(duì)任意恒成立，

為任意的正整數(shù)，

.

的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對(duì)部分企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個(gè)結(jié)論：

①樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.45；

②如果規(guī)定年收入在500萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策，估計(jì)有55%的當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策；

③樣本的中位數(shù)為480萬元.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】冬季歷來是交通事故多發(fā)期，面臨著貨運(yùn)高危運(yùn)行、惡劣天氣頻發(fā)、包車客運(yùn)監(jiān)管漏洞和農(nóng)村交通繁忙等四個(gè)方面的挑戰(zhàn).全國公安交管部門要認(rèn)清形勢(shì)、正視問題，針對(duì)近期事故暴露出來的問題，強(qiáng)薄羽、補(bǔ)短板、堵漏洞，進(jìn)一步推動(dòng)五大行動(dòng)，鞏固擴(kuò)大五大行動(dòng)成果，全力確保冬季交通安全形勢(shì)穩(wěn)定.據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于交通道路安全情況的調(diào)查，通過調(diào)查年齡在的人群，數(shù)據(jù)表明，交通道路安全仍是百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn)，參與調(diào)查者中關(guān)注此類問題的約占80%，現(xiàn)從參與調(diào)查并關(guān)注交通道路安全的人群中隨機(jī)選出100人，并將這100人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求這100人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）現(xiàn)在要從年齡較大的第4，5組中用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求第4組恰好抽到2人的概率；

（3）若從所有參與調(diào)查的人（人數(shù)很多）中任意選出3人，設(shè)其中關(guān)注交通道路安全的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)列{an}滿足a1=1，對(duì)任意n∈N*都有an+1=an+n+1，則=（　　　�。�

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給定數(shù)列，記該數(shù)列前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為，即，該數(shù)列后項(xiàng)中的最小項(xiàng)為，記，；

（1）對(duì)于數(shù)列：3，4，7，1，求出相應(yīng)的，，；

（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)任意，有，其中為實(shí)數(shù)，且，.

（ⅰ）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（ⅱ）若數(shù)列對(duì)應(yīng)的滿足對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(數(shù)學(xué)文卷·2017屆重慶十一中高三12月月考第16題) 現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個(gè)幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式．請(qǐng)研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上，解答以下問題：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線的斜率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，過的動(dòng)直線交該橢圓于，兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線E：的焦點(diǎn)重合，斜率為k的直線l交拋物線E于A、B兩點(diǎn)，交橢圓于C、D兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，且的面積為，求k的值；

（3）若直線l過點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，且，，成等差數(shù)列，求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)和是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若直線和直線的斜率都存在且分別為和，求證：；

（2）若雙曲線的焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，求由四點(diǎn)、、、所圍成四邊形的面積．

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