Question

在四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AD∥BC，AD=1，AB=BC=2，cos＜

DS

，

DB

＞=

1

5

．
（Ⅰ）求直線BS與平面SCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）求面SAB與面SCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)SA=m，由已知得4+m²=1+m²+5-2

m2+1

×

5

×

1

5

，從而得m=2，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出直線BS與平面SCD所成角的正弦值．
（Ⅱ）求出平面SAB的法向量，利用向量法能求出平面SAB與面SCD所成的二面角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)SA=m，∵SA²=DS²+DB²-2DS•DBcos＜

DS

，

DB

＞，
∴4+m²=1+m²+5-2

m2+1

×

5

×

1

5

，
解得m=2，
以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則D（1，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2），B（0，2，0），

BS

=（0，-2，2），

DC

=（1，2，0），

DS

=（-1，0，2），
設(shè)平面SCD的法向量為

m

=（x，y，z），
則

DC • m =x+2y=0 DS • m =-x+2z=0

，
令z=1，則

m

=（2，-1，1），
設(shè)直線BS與平面SCD所成角為θ，
則sinθ=

| BS • m |

| BS |•| m |

=

0+2+2

8 • 6

=

3

3

．
（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
∴平面SAB的法向量為

AD

=（1，0，0），
cos＜

AD

，

m

＞=

AD • m

| AD |•| m |

=

6

3

，
平面SAB與面SCD所成的二面角的正弦值為

1-( 6 3 )2

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線BS與平面SCD所成角的正弦值的求法，考查面SAB與面SCD所成二面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．