Question

8．在直角坐標(biāo)系xoy中，已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xoy取相同的單位長度，建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）將曲線C₁上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)分別伸長為原來的$\sqrt{3}$，2倍后得到曲線C₂，試寫出曲線C₂的參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C₂上求一點(diǎn)P，使P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）由直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（2cosθ-sinθ）=6，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程．將曲線C₁上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)分別伸長為原來的$\sqrt{3}$，2倍后得到曲線C₂，可得：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，利用平方關(guān)系可得參數(shù)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，則P到直線l的距離d=$\frac{|4sin（\frac{π}{3}-θ）-6|}{\sqrt{5}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出最大值．

解答 解：（1）由直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（2cosθ-sinθ）=6，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：2x-y-6=0．
曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程：x²+y²=1．
將曲線C₁上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)分別伸長為原來的$\sqrt{3}$，2倍后得到曲線C₂，可得：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，
∴曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（2）設(shè)點(diǎn)P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，
則P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4sin（\frac{π}{3}-θ）-6|}{\sqrt{5}}$≤$\frac{10}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)$sin（\frac{π}{3}-θ）$=-1時取等號，取θ=$\frac{5π}{6}$．
∴P$（-\frac{3}{2}，1）$到直線l的距離最大值為2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化公式、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．