Question

12．已知函數f（x）是定義域為R的奇函數，且當x＜0時xf'（x）+f（x）＜0，記a=3f（3），b=f（sin1）sin1，c=-2$\sqrt{2}f（-2\sqrt{2}）$，則a，b，c的大小關系式（　�。�

• A． a＞c＞b
• B． c＞a＞b
• C． c＞b＞a
• D． a＞b＞c

Answer 1

分析 令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）．由于當x＜0時xf'（x）+f（x）＜0，可得函數g（x）單調遞增．即可得出．

解答 解：令g（x）=xf（x），g（x）為偶函數，則g′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵當x＜0時xf'（x）+f（x）＜0，
∴當x＜0時，函數g（x）單調遞減．
∵函數f（x）是定義域為R的奇函數，
∴函數g（x）為R⁺的單調遞增函數，
∴a=3f（3）=g（3），b=sin1•f（sin1）=g（sin1）
c=-2$\sqrt{2}f（-2\sqrt{2}）$=g（-2$\sqrt{2}$）=g（2$\sqrt{2}$），
∴g（3）＞g（-2$\sqrt{2}$）＞g（sin1），
∴a＞c＞b．
故選：A．

點評 本題考查了通過構造函數利用導數研究函數的單調性比較大小，考查了推理能力，屬于中檔題．