Question

函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得函數(shù)f（x）滿足：①f（x）在[a，b]內是單調函數(shù)；②f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]為y=f（x）的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有（ ）
①f（x）=x²（x≥0）；
②f（x）=e^x（x∈R）；
③f（x）=（x≥0）；
④f（x）=．
A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．①③

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則：①f（x）在[a，b]內是單調函數(shù)；②或，對四個函數(shù)分別研究，從而確定是否存在“倍值區(qū)間”
解答：解：函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則：①f（x）在[a，b]內是單調函數(shù)；②或
①f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值區(qū)間”[a，b]，則，∴∴
∴f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值區(qū)間”[0，2]；
②f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值區(qū)間”[a，b]，則，∴
構建函數(shù)g（x）=e^x-2x，∴g′（x）=e^x-2，
∴函數(shù)在（-∞，ln2）上單調減，在（ln2，+∞）上單調增，
∴函數(shù)在x=ln2處取得極小值，且為最小值．
∵g（ln2）=2-2ln2＞0，∴g（x）＞0恒成立，∴e^x-2x=0無解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”；
③，=
若存在“倍值區(qū)間”[a，b]⊆[0，1]，則，∴，∴a=0，b=1，若存在“倍值區(qū)間”[0，1]；
④．不妨設a＞1，則函數(shù)在定義域內為單調增函數(shù)
若存在“倍值區(qū)間”[m，n]，則，必有，
必有m，n是方程的兩個根，
必有m，n是方程的兩個根，
由于存在兩個不等式的根，故存在“倍值區(qū)間”[m，n]；
綜上知，所給函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④
故選C．
點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，涉及知識點較多，需要謹慎計算．