Question

已知函數f（x）=ax²-（a+1）x+1
（I）當時，不等式f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍；
（II）設H（x）=[f（x）+a-1]e^x，當a＞-1且a≠0時，時求函數H（x）的單調區(qū)間和極值．

Answer 1

【答案】分析：（I）討論a，分布就①a=0，②a＞0，③a＜0三種情況求函數的最大值，要使f（x）＞0恒成立?f（x）_min＞0
（II）代入整理可得H（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，對函數求導就①②③三種情況討論函數H（x）的單調性及求極值．
解答：解：（I）①當a=0時f（x）=-x+1，在上f（x）＞0一定成立
②當a≠0時，當a＞0時，二次函數y=f（x）的圖象開口向上，且與x軸有兩個交點（1，0）和要使f（x）＞0在上恒成立，當且僅當，即0＜a≤1；
當a＜0時，二次函數y=f（x）的圖象開口向下，且與x軸有兩個交點（1，0）和要使f（x）＞0在上恒成立，當且僅當，即-2≤a≤0
綜合可得實數a的取值范圍是：-2≤a≤1．

（II）H（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，

令H'（x）=0，解得x=，或x=-1
①當a＞0時，則．當x變化時，H'（x），H（x）的變化情況如下表：

所以函數H（x）在（-∞，-1），內是增函數，在內是減函數．
函數H（x）在x=-1處取得極大值H（-1），
且H（-1）=（3a+1）e^-1函數H（x）在處取得極小值，且
②當-1＜a＜0時，則，當x變化時，H'（x），H（x）的變化情況如下表：

所以函數H（x）在，（-1，+∞）內是減函數，
在內是增函數函數H（x）在x=-1處取得極大值H（-1），
且H（-1）=（3a+1）e-1函數H（x）在x=處取得極小值，且H
點評：本題主要考查了導數的應用：利用導數求函數的極值及判斷函數的單調性、求單調區(qū)間，但當極值點中含有參數時，要對極值的大小討論，體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應用、