Question

5．如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離與O到M的距離之和表示成x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]上的圖象大致是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，點(diǎn)M到直線OP的距離與O到M的距離之和f（x）=sinxcosx+cosx=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)圖象的大致形狀，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，
角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，
過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，
則點(diǎn)M到直線OP的距離與O到M的距離之和f（x）=sinxcosx+cosx=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx，
∵f′（x）=cos2x-sinx=-2sin²x-sinx+1=-2（sinx+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
故當(dāng)sinx＜$\frac{1}{2}$，即x∈[0，$\frac{π}{6}$）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)sinx＞$\frac{1}{2}$，即x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
同理，x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
x∈（$\frac{5π}{6}$，π]時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．