Question

【題目】已知橢圓的焦距為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），試求面積的最大值；

（3）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，是否存在直線（其中），使得到直線的距離滿足恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1；（3）存在，4.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的焦距求出c，由P（0，2）關(guān)于直線y＝﹣x的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓Γ上可得a＝2，即可求出b2，可得橢圓方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線方程為y＝mx+2，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離，表示出三角形的面積，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值；

（3）設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，假設(shè)存在這樣的直線l0，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式，可得，化簡(jiǎn)整理代入，即可判斷．

（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，

因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，又，故，

則．所以，橢圓的方程為．

（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)的方程為，

由得，

由△，得．

設(shè)，，則，，且，

，

所以，

．

令，則，所以，，

因?yàn)?/span>（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），此時(shí)．

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，△的面積取最大值．

（3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)，，

等式成立；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由得，

span>設(shè)，，則，，

由題意，與一個(gè)小于，另一個(gè)大于，不妨設(shè)，

則

，

所以，，

即，解得．

綜上，存在滿足條件的直線，使得恒成立．