Question

8．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|-2|x-1|．
（I）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅱ）若不等式$\frac{a}{1-a}$≤f（x）有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉絕對值，化簡函數(shù)f（x），作出函數(shù)f（x）的圖象即可；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）的圖象知函數(shù)的最大值是1，問題等價于$\frac{a}{1-a}$≤1有解，
求出解集即可．

解答 解：（Ⅰ）令2x-1=0，得x=$\frac{1}{2}$，
令x-1=0，得x=1；
當x＜$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）=|2x-1|-2|x-1|=-（2x-1）+2（x-1）=-1；
當$\frac{1}{2}$≤x≤1時，函數(shù)f（x）=|2x-1|-2|x-1|=（2x-1）+2（x-1）=4x-3；
當x＞1時，函數(shù)f（x）=|2x-1|-2|x-1|=（2x-1）-2（x-1）=1；
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x＜\frac{1}{2}}\\{4x-3，\frac{1}{2}≤x≤1}\\{1，x＞1}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）的圖象知，f（x）的最大值是1，
所以不等式$\frac{a}{1-a}$≤f（x）有解，等價于$\frac{a}{1-a}$≤1有解，
不等式$\frac{a}{1-a}$≤1可化為$\frac{a}{1-a}$-1≤0
（2a-1）（a-1）≥0（a≠1），解得a≤$\frac{1}{2}$或a＞1，
所以實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪（1，+∞）．

點評 本題考查了含有絕對值的函數(shù)與應用問題，也考查了分式不等式的解法問題，是基礎題．