Question

18．已知函數(shù)f（x）=1+a（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x
（1）當a=1時，解不等式f（x）＞7；
（2）若對任意x∈[0，+∞），總有f（x）≤3成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，f（x）=1+（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x，設t=（$\frac{1}{2}$）^x，由f（x）＞7，得t²+t-6＞0，由此能求出不等式f（x）＞3的解集．
（2）由題意知，f（x）≤3在[1，+∞）上恒成立，從而[-4•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x]_max＜a≤[2•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x]_min，設2^x=t，p（t）=2t-$\frac{1}{t}$，由x∈[0，+∞），得t≥1，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=1+（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x，
設t=（$\frac{1}{2}$）^x，由f（x）＞7，得t²+t-6＞0，即t＞2或t＜3，…（2分）
又∵t＞0，∴t＞2，即（$\frac{1}{2}$）^x＞2，故x＜-1，
∴不等式f（x）＞3的解集是{x|x＜-1}．…（4分）
（2）由題意知，f（x）≤3在[1，+∞）上恒成立，
-4-（$\frac{1}{4}$）^x$≤a（\frac{1}{2}）^{x}$≤2-（$\frac{1}{4}$）^x，
∴-4•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x≤a≤2•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x]_max＜a≤[2•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x]_min…（7分）
設2^x=t，p（t）=2t-$\frac{1}{t}$，由x∈[0，+∞），得t≥1，…（9分）
設1≤t₁＜t₂，p（t₁）-p（t₂）=$\frac{（{t}_{1}-{t}_{2}）（2{t}_{1}{t}_{2}+1）}{{t}_{1}{t}_{2}}$＜0，
∴p（t）在[1，+∞）上遞增，…（12分）
p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1，
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．…（14分）

點評 本題考查不等式的解法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用．