Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），當(dāng)x∈[1，3），f（x）=lnx，若在區(qū)間[1，9）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、(

  ln3

  3

  ，

  1

  e

  )
• B、(

  ln3

  9

  ，

  1

  3e

  )
• C、(

  ln3

  9

  ，

  1

  2e

  )
• D、(

  ln3

  9

  ，

  ln3

  3

  )

Answer 1

分析：可以根據(jù)函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），求出x∈[3，9）上的解析式，在區(qū)間[1，9）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化成“f（x）-ax=0在區(qū)間[1，9）上有三個(gè)解，即a=

f(x)

x

有三個(gè)解”，最后轉(zhuǎn)化成y=a與h（x）=

f(x)

x

的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)h（x）的圖象，即可求出所求．

解答：解：設(shè)x∈[3，9），則

x

3

∈[1，3）
∵x∈[1，3），f（x）=lnx，
∴f（

x

3

）=ln

x

3

，
∵函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），
∴f（

x

3

）=f（x）=ln

x

3

，
∴f（x）=

lnx，1≤x＜3 ln x 3 ，3≤x＜9

，
∵在區(qū)間[1，9）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，
∴f（x）-ax=0在區(qū)間[1，9）上有三個(gè)解，即a=

f(x)

x

有三個(gè)解，
則y=a與h（x）=

f(x)

x

的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x∈[1，3），h（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

=0，解得x=e，
∴當(dāng)x∈[1，e）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（e，3）時(shí)，h′（x）＜0即函數(shù)h（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

在[1，e）上單調(diào)遞增，在（e，3）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e處，函數(shù)h（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

在[1，3）上取最大值

1

e

，
當(dāng)x∈[3，9），h（x）=

f(x)

x

=

ln x 3

x

，則h′（x）=

1-ln x 3

x2

=0，解得x=3e，
∴當(dāng)x∈[3，3e）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（3e，9）時(shí)，h′（x）＜0即函數(shù)h（x）=

f(x)

x

=

ln x 3

x

[3，3e）上單調(diào)遞增，在（3e，9）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=3e處，函數(shù)h（x）=

f(x)

x

=

ln x 3

x

在[3，9）上取最大值

1

3e

，
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及h（1）=0，h（e）=

1

e

，h（3）=0，h（3e）=

1

3e

，h（9）=

ln3

9

，畫出函數(shù)的大值圖象，
根據(jù)圖象可知y=a與h（x）在[1，3）上一個(gè)交點(diǎn)，在[3，3e） 上兩個(gè)交點(diǎn)，
∴在區(qū)間[1，9）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

ln3

9

，

1

3e

）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．